การเรียนรู้เพื่อลดความซับซ้อนของนิพจน์เกี่ยวกับพีชคณิตเป็นข้อกำหนดที่จำเป็นสำหรับการเรียนรู้พีชคณิตขั้นพื้นฐาน รวมถึงการเป็นเครื่องมือที่มีค่าอย่างยิ่งสำหรับนักคณิตศาสตร์ทุกคน การทำให้เข้าใจง่ายช่วยให้นักคณิตศาสตร์สร้างนิพจน์ที่ซับซ้อน ยาว หรือไม่เหมาะสมให้อยู่ในรูปแบบที่ง่ายกว่าหรือสะดวกกว่าในขณะที่ยังคงเทียบเท่า ทักษะในการทำให้เข้าใจง่ายขั้นพื้นฐานนั้นเรียนรู้ได้ง่าย แม้กระทั่งสำหรับผู้ที่ไม่ชอบคณิตศาสตร์ ทำตามขั้นตอนง่ายๆ ไม่กี่ขั้นตอนเพื่อลดความซับซ้อนของนิพจน์พีชคณิตทั่วไปหลายประเภทโดยไม่ต้องมีความรู้ทางคณิตศาสตร์ใดๆ อ่านขั้นตอนที่ 1 เพื่อเริ่มต้น!
ขั้นตอน
การทำความเข้าใจแนวคิดที่สำคัญ
ขั้นตอนที่ 1 กำหนด “คำที่เกี่ยวข้อง” ด้วยตัวแปรและกำลัง
ในพีชคณิต “ตัวเลขที่สัมพันธ์กัน” มีการกำหนดค่าตัวแปรเหมือนกัน โดยยกกำลังเท่ากัน กล่าวอีกนัยหนึ่งสำหรับคำศัพท์สองคำที่จะ "สัมพันธ์กัน" จะต้องมีตัวแปรเหมือนกันหรือไม่มีเลย และแต่ละคำต้องยกกำลังเท่ากันหรือไม่มีเลย ลำดับของตัวแปรภายในเทอมไม่สำคัญ
ตัวอย่างเช่น 3x2 และ 4x2 เป็นคำที่เกี่ยวข้องกันเพราะแต่ละคำมีตัวแปร x ยกกำลังสอง อย่างไรก็ตาม x และ x2 ไม่ใช่คำที่เกี่ยวข้องกัน เนื่องจากแต่ละคำมี x ยกกำลังต่างกัน ในทำนองเดียวกัน -3yx และ 5xz ไม่ใช่คำที่เกี่ยวข้องกันเพราะแต่ละคำมีชุดตัวแปรที่แตกต่างกัน
ขั้นตอนที่ 2 ตัวประกอบในการเขียนตัวเลขเป็นผลคูณของสองปัจจัย
การแยกตัวประกอบเป็นแนวคิดของการแสดงจำนวนที่กำหนดเป็นผลคูณของสองปัจจัยคูณกัน ตัวเลขสามารถมีตัวประกอบได้มากกว่าหนึ่งชุด - ตัวอย่างเช่น หมายเลข 12 สามารถเกิดขึ้นได้ด้วย 1×12, 2×6 และ 3×4 ดังนั้นคุณสามารถประกาศได้ว่า 1, 2, 3, 4, 6 และ 12 เป็นตัวเลข ตัวประกอบทั้งหมดของ 12 วิธีคิดอีกอย่างหนึ่งก็คือตัวประกอบของจำนวนหนึ่งคือตัวเลขที่หารลงตัวเท่ากัน
- ตัวอย่างเช่น หากเราต้องการแยกตัวประกอบ 20 เราสามารถเขียนเป็น 4×5.
- โปรดทราบว่าเงื่อนไขตัวแปรสามารถแยกตัวประกอบได้ -20x ตัวอย่างเช่น สามารถเขียนเป็น 4(-5x).
- จำนวนเฉพาะไม่สามารถแยกตัวประกอบได้เนื่องจากหารด้วยตัวมันเองกับ 1 เท่านั้น
ขั้นตอนที่ 3 ใช้ตัวย่อ PEMDAS เพื่อจดจำลำดับของการดำเนินการ
การลดความซับซ้อนของนิพจน์ในบางครั้งจะไม่มีความหมายอะไรมากไปกว่าการดำเนินการกับนิพจน์นั้น จนกว่าจะไม่สามารถทำได้อีกต่อไป ในกรณีเช่นนี้ สิ่งสำคัญคือต้องจำลำดับของการดำเนินการเพื่อไม่ให้เกิดข้อผิดพลาดทางคณิตศาสตร์ ตัวย่อ PEMDAS ช่วยได้มากเมื่อคุณต้องการจำลำดับของการดำเนินการ - ตัวอักษรจะสอดคล้องกับประเภทของการดำเนินการที่ต้องทำตามลำดับ:
- สำหรับ สายรัด
- และ เลขชี้กำลัง
- NS การคูณ
- NS วิสัยทัศน์
- NS ฉบับ
- NS การลบ
วิธีที่ 1 จาก 3: การรวมคำที่เกี่ยวข้อง
ขั้นตอนที่ 1. เขียนสมการของคุณ
สมการพีชคณิตที่ง่ายที่สุด ซึ่งเกี่ยวข้องกับเงื่อนไขตัวแปรเพียงไม่กี่ตัวที่มีสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มและไม่มีเศษส่วน ราก ฯลฯ มักจะสามารถแก้ไขได้ในไม่กี่ขั้นตอน เช่นเดียวกับปัญหาคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ ขั้นตอนแรกในการทำให้สมการง่ายขึ้นคือจดมันลงไป!
เป็นตัวอย่างปัญหา สำหรับขั้นตอนต่อไป เราจะพิจารณานิพจน์ 1+2x-3+4x.
ขั้นตอนที่ 2 ระบุเงื่อนไขที่เกี่ยวข้อง
ถัดไป ให้ค้นหาสมการของคุณเพื่อหาคำศัพท์ที่เกี่ยวข้อง จำไว้ว่าเงื่อนไขที่เหมือนกันมีทั้งตัวแปรและเลขชี้กำลังเหมือนกัน
ตัวอย่างเช่น ลองระบุคำที่เกี่ยวข้องในสมการ 1+2x-3+4x ทั้ง 2x และ 4x มีตัวแปรเดียวกันที่ยกขึ้นเป็นเลขชี้กำลังเดียวกัน (ในกรณีนี้ x จะไม่ยกกำลังใดๆ) นอกจากนี้ 1 และ -3 เป็นคำที่เกี่ยวข้องกัน เนื่องจากไม่มีตัวแปรทั้งคู่ ดังนั้น ในสมการของเรา 2x และ 4x และ 1 และ -3 เป็นคำที่เกี่ยวข้อง
ขั้นตอนที่ 3 รวมคำที่เกี่ยวข้อง
เมื่อคุณได้ระบุคำที่เกี่ยวข้องแล้ว คุณสามารถรวมคำเหล่านั้นเพื่อทำให้สมการง่ายขึ้นได้ เพิ่มเงื่อนไขเข้าด้วยกัน (หรือลบออกสำหรับเงื่อนไขเชิงลบ) เพื่อลดแต่ละชุดของเงื่อนไขที่มีตัวแปรและเลขชี้กำลังเท่ากับพจน์เอกพจน์
-
มาเพิ่มคำศัพท์ที่เกี่ยวข้องในตัวอย่างของเรา:
- 2x+4x = 6x.
- 1+(-3) = - 2.
ขั้นตอนที่ 4 สร้างนิพจน์แบบง่ายจากเงื่อนไขแบบย่อของคุณ
หลังจากรวมคำที่เกี่ยวข้องของคุณแล้ว ให้สร้างนิพจน์จากชุดคำศัพท์ใหม่และแบบง่ายของคุณ คุณควรได้นิพจน์ที่ง่ายกว่า โดยมีคำศัพท์สำหรับชุดตัวแปรและเลขชี้กำลังแต่ละชุดที่แตกต่างกันในนิพจน์ดั้งเดิม นิพจน์ใหม่นี้เหมือนกับนิพจน์แรก
ในตัวอย่างของเรา พจน์แบบง่ายคือ 6x และ -2 ดังนั้นนิพจน์ใหม่จะเป็น 6x-2. นิพจน์แบบง่ายนี้เหมือนกับนิพจน์ดั้งเดิม (1+2x-3+4x) แต่เล็กกว่าและแก้ได้ง่ายกว่า นอกจากนี้ยังง่ายต่อการแยกตัวประกอบ ซึ่งอย่างที่เราจะเห็นต่อไป เป็นทักษะที่สำคัญอีกอย่างหนึ่งในการทำให้เข้าใจง่าย
ขั้นตอนที่ 5 ปฏิบัติตามคำสั่งของการดำเนินการเมื่อรวมคำที่เกี่ยวข้อง
ในนิพจน์ง่ายๆ อย่างในตัวอย่างก่อนหน้านี้ การระบุคำศัพท์นั้นง่ายมาก อย่างไรก็ตาม ในนิพจน์ที่ซับซ้อนมากขึ้น เช่น คำที่เกี่ยวข้องกับคำศัพท์ในวงเล็บ เศษส่วน และรากศัพท์ คำที่เกี่ยวข้องกันซึ่งนำมารวมกันได้อาจไม่ปรากฏให้เห็นในทันที ในกรณีเหล่านี้ ให้ทำตามคำสั่งของการดำเนินการ ดำเนินการกับเงื่อนไขในนิพจน์ตามต้องการ จนกว่าจะเหลือเพียงการบวกและการลบเท่านั้น
-
ตัวอย่างเช่น พิจารณาสมการ 5(3x-1)+x(2x/2)+8-3x การระบุ 3x และ 2x เป็นคำที่เกี่ยวข้องโดยทันทีและรวมคำเหล่านั้นเข้าด้วยกันแม้จะอยู่ในวงเล็บ ก็ถือว่าไม่ถูกต้อง เนื่องจากเราต้องดำเนินการอื่นๆ ก่อน เริ่มแรก เราจะดำเนินการทางคณิตศาสตร์กับนิพจน์ตามลำดับของการดำเนินการ เพื่อให้ได้เงื่อนไขที่เราสามารถใช้ได้ ดูด้านล่าง:
- 5(3x-1)+x(2x/2)+8-3x.
- 15x-5+x(x)+8-3x.
-
15x-5+x2.
ตอนนี้ เนื่องจากยังคงมีการบวกและการลบเท่านั้น เราสามารถรวมเงื่อนไขที่เกี่ยวข้องได้
- NS2+12x+3.
วิธีที่ 2 จาก 3: แฟคตอริ่ง
ขั้นตอนที่ 1 ระบุตัวหารร่วมมากที่สุดในนิพจน์
การแยกตัวประกอบเป็นวิธีหนึ่งในการทำให้นิพจน์ง่ายขึ้นโดยเอาปัจจัยทั่วไปออกจากเงื่อนไขของนิพจน์ ในการเริ่มต้น ให้หาตัวหารร่วมมากที่พจน์ทั้งหมดในนิพจน์ใช้ร่วมกัน กล่าวคือ จำนวนที่มากที่สุดโดยที่พจน์ทั้งหมดในนิพจน์สามารถหารได้เท่าๆ กัน
-
ลองใช้สมการ 9x กัน2+27x-3. สังเกตว่าพจน์ทั้งหมดในสมการนั้นหารด้วย 3 ลงตัว เนื่องจากพจน์นั้นหารด้วยจำนวนที่มากกว่านั้นไม่ลงตัว เราจึงสามารถกำหนดได้ว่า
ขั้นตอนที่ 3 เป็นตัวหารร่วมมากที่สุดในนิพจน์
ขั้นตอนที่ 2 แบ่งพจน์พจน์ด้วยตัวหารร่วมมาก
ต่อไป หารแต่ละเทอมในสมการด้วยตัวหารร่วมมากที่พบ เงื่อนไขผลลัพธ์จะมีสัมประสิทธิ์ต่ำกว่าในนิพจน์เดิม
-
ลองแยกตัวประกอบสมการของเราด้วยตัวหารร่วมมากสุด 3 กัน เพื่อทำสิ่งนี้ เราจะหารแต่ละเทอมด้วย 3
- 9x2/3 = 3x2
- 27x/3 = 9x
-
-3/3 = -1
ดังนั้นนิพจน์ใหม่ของเราคือ 3x2+9x-1.
ขั้นตอนที่ 3 พล็อตนิพจน์ของคุณเป็นผลคูณของตัวหารร่วมมากสุดและพจน์ที่เหลือ
นิพจน์ใหม่ไม่เหมือนกับนิพจน์ก่อนหน้านั่นคือไม่สามารถพูดได้ว่าเป็นแบบย่อ เพื่อให้เท่ากับค่าก่อนหน้า จำเป็นต้องสังเกตว่ามันถูกหารด้วยตัวหารร่วมมากที่มากที่สุด ใส่นิพจน์ของคุณในวงเล็บและตั้งค่าตัวหารร่วมมากของสมการดั้งเดิมเป็นสัมประสิทธิ์ของนิพจน์ในวงเล็บ
ในกรณีของนิพจน์ตัวอย่างของเรา 3x2+9x-1 เราจะปิดนิพจน์ในวงเล็บแล้วคูณด้วยตัวหารร่วมมากของสมการเดิมจะได้ 3 (3x2+9x-1). สมการนี้จะเหมือนกับสมการเดิมคือ 9x2+27x-3.
ขั้นตอนที่ 4 ใช้การแยกตัวประกอบเพื่อทำให้เศษส่วนง่ายขึ้น
ตอนนี้ คุณอาจสงสัยว่าเหตุใดการแยกตัวประกอบจึงมีประโยชน์ ถ้าหลังจากลบตัวหารร่วมมากแล้ว นิพจน์ใหม่จะต้องคูณด้วยนิพจน์ใหม่อีกครั้ง อันที่จริง การแยกตัวประกอบช่วยให้นักคณิตศาสตร์แสดงกลอุบายหลายอย่างเมื่อทำให้นิพจน์ง่ายขึ้น วิธีที่ง่ายที่สุดวิธีหนึ่งคือการใช้ประโยชน์จากข้อเท็จจริงที่ว่าการคูณตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนด้วยจำนวนเดียวกันจะทำให้ได้เศษส่วนที่เท่ากัน ดูด้านล่าง:
-
สมมติว่านิพจน์ตัวอย่างเดิมของเรา 9x2+27x-3 เป็นตัวเศษของเศษส่วนที่มากกว่าที่มี 3 เป็นตัวส่วน เศษส่วนนี้จะมีลักษณะดังนี้: (9x2+27x-3)/3. เราสามารถใช้การแยกตัวประกอบเพื่อทำให้เศษส่วนนี้ง่ายขึ้น:
เราแทนที่รูปแบบการแยกตัวประกอบของนิพจน์ดั้งเดิมด้วยนิพจน์ในตัวเศษ: [3(3x.)2+9x-1)]/3.
- โปรดทราบว่าตอนนี้ทั้งตัวเศษและตัวส่วนแบ่งปันค่าสัมประสิทธิ์ 3 โดยการหารทั้งคู่ด้วย 3 เราจะได้: (3x3+9x-1)/1.
- เนื่องจากทุกๆ เศษส่วนที่มี "1" อยู่ในตัวส่วน เท่ากับพจน์ในตัวเศษ เราจึงกล่าวได้ว่าเศษส่วนเดิมสามารถย่อเป็น 3x2+9x-1.
วิธีที่ 3 จาก 3: การใช้ทักษะการทำให้เข้าใจง่ายเพิ่มเติม
ขั้นตอนที่ 1 ลดความซับซ้อนของเศษส่วนด้วยการหารตัวประกอบร่วม
ดังที่กล่าวไว้ข้างต้น หากตัวเศษและตัวส่วนของนิพจน์มีตัวประกอบร่วมกัน ตัวประกอบเหล่านั้นสามารถลบออกจากเศษส่วนได้ทั้งหมด บางครั้งสิ่งนี้จะต้องแยกตัวประกอบตัวเศษ ตัวส่วน หรือทั้งสองอย่าง (ตามกรณีที่อธิบายไว้ข้างต้น) ในขณะที่ในบางครั้งปัจจัยที่ใช้ร่วมกันจะปรากฏชัดในทันที โปรดทราบว่า เป็นไปได้ที่จะแบ่งเทอมตัวเศษด้วยนิพจน์ในตัวส่วน แยกกัน เพื่อให้ได้นิพจน์แบบง่าย
-
ลองมาดูตัวอย่างที่ไม่จำเป็นต้องแยกตัวประกอบในทันที ในกรณีเศษส่วน (5x2+10x+20)/10 เราอาจหารแต่ละเทอมในตัวเศษด้วยเลข 10 ในตัวส่วนเพื่อทำให้ง่ายขึ้น แม้ว่าสัมประสิทธิ์ “5” จะเป็น 5x2 ไม่เกิน 10 ดังนั้นจึงไม่สามารถมี 10 เป็นตัวหารได้
การทำเช่นนี้นำเราไปสู่ผลลัพธ์ [(5x2)/10]+x+2. ถ้าเราต้องการ เราสามารถเขียนเทอมแรกใหม่โดย (1/2)x2 เพื่อให้ได้ผลลัพธ์ (1/2)x2+x+2.
ขั้นตอนที่ 2 ใช้ตัวประกอบกำลังสองเพื่อลดความซับซ้อนของอนุมูล
นิพจน์ภายใต้สัญลักษณ์รากที่สองเรียกว่านิพจน์ราก สามารถลดความซับซ้อนได้โดยการระบุตัวประกอบกำลังสอง (ตัวประกอบที่เป็นกำลังสองของจำนวนที่กำหนด) และทำการดำเนินการรากที่สองแยกกันเพื่อลบออกจากใต้เครื่องหมายรากที่สอง
-
ลองใช้ตัวอย่างต่อไปนี้: √(9) หากเราคิดว่าจำนวน 90 เป็นผลคูณของตัวประกอบสองตัวของมัน นั่นคือ 9 และ 10 เราสามารถหารากที่สองของ 9 เพื่อให้ได้จำนวนเต็ม 3 และลบออกจากรากศัพท์ กล่าวอีกนัยหนึ่ง:
- √(90).
- √(9×10).
- [√(9)×√(10)].
- 3×√(10).
- 3√10.
ขั้นตอนที่ 3 บวกเลขชี้กำลังด้วยการคูณพจน์เลขชี้กำลังสองพจน์ ลบออกโดยหารเงื่อนไขเหล่านี้
นิพจน์พีชคณิตบางนิพจน์ต้องการการคูณหรือหารของพจน์เลขชี้กำลัง แทนที่จะคำนวณแต่ละเทอมเลขชี้กำลังและคูณหรือหารด้วยมือ เพียงเพิ่มเลขชี้กำลังเมื่อคูณและลบออกเมื่อหารเพื่อประหยัดเวลา แนวคิดนี้ยังสามารถใช้เพื่อลดความซับซ้อนของนิพจน์ตัวแปร
-
ตัวอย่างเช่น พิจารณานิพจน์ 6x3×8x4+(x17/NS15). ในแต่ละโอกาสที่จำเป็นต้องคูณหรือหารด้วยเลขชี้กำลัง เราจะลบหรือบวกตามลำดับ เพื่อค้นหาพจน์ที่ลดทอนลงอย่างรวดเร็ว ดูด้านล่าง:
- 6x3×8x4+(x17/NS15)
- (6×8)x3+4+(x17-15)
- 48x7+x2
-
เหตุผลในการทำงานมีดังนี้:
โดยพื้นฐานแล้ว การคูณพจน์เอ็กซ์โปเนนเชียลก็เหมือนกับการคูณสตริงยาวๆ ของพจน์ที่ไม่เอ็กซ์โพเนนเชียล ตัวอย่างเช่น เนื่องจาก x3 = x×x×x และ x5 = x×x×x×x×x, x3×x5 = (x×x×x)×(x×x×x×x×x) หรือ x8
- ในทำนองเดียวกัน การแยกพจน์เอกซ์โพเนนเชียลก็เหมือนการแยกสตริงยาวๆ ของพจน์ที่ไม่เอ็กซ์โพเนนเชียล NS5/NS3 = (x×x×x×x×x)/(x×x×x). เนื่องจากแต่ละเทอมในตัวเศษสามารถยกเลิกได้โดยการรวมเทอมในตัวส่วน เราจึงเหลือ x สองตัวในตัวเศษ และไม่มีตัวส่วนเลย ได้คำตอบ x2.
เคล็ดลับ
- จำไว้เสมอว่าคุณต้องนึกถึงตัวเลขเหล่านี้ว่ามีเครื่องหมายบวกหรือลบ หลายคนคงคิดหนักว่า “จะใส่ป้ายอะไรดี?”
- ขอความช่วยเหลือเมื่อจำเป็น!
- การลดความซับซ้อนของนิพจน์พีชคณิตไม่ใช่เรื่องง่าย แต่เมื่อคุณเข้าใจแล้ว คุณจะใช้ทักษะนี้ไปตลอดชีวิต
ประกาศ
- มองหาคำที่เกี่ยวข้องเสมอและอย่าหลงกลโดยเลขชี้กำลัง
- อย่าเผลอบวกตัวเลข เลขชี้กำลัง หรือการดำเนินการใดๆ ที่ไม่ได้อยู่ในนิพจน์โดยไม่ตั้งใจ